Древнеиндийские математические сочинения были записаны в виде стихов на санскрите, обычно куплетами из двух строчек, по 16 слогов в каждой; каждый такой куплет называется "шлока". Все, что есть в трактате Бхаскары про вычисление синуса, умещается всего в три шлоки, и вот они:
मख्यादिरहितं कर्मं वक्ष्यते तत्समासतः।
चक्रार्धांशकसमूहाद्विधोध्या ये भुजांशकाः॥१७॥
तच्छेषगुणिता द्विष्टाः शोध्याः खाभ्रेषुखाब्धितः।
चतुर्थांशेन शेषस्य द्विष्ठमन्त्य फलं हतम् ॥१८॥
बाहुकोट्योः फलं कृत्स्नं क्रमोत्क्रमगुणस्य वा।
लभ्यते चन्द्रतीक्ष्णांश्वोस्ताराणां वापि तत्त्वतः ॥१९॥
В каждой шлоке первая строка заканчивается символом ।, обозначающим паузу, а вторая двумя символами ॥, между которыми стоит номер шлоки (17,18,19 в данном случае; узнаете что-то похожее на обратную девятку в числе 19: १९?)
Мне стало интересно, как именно описан в стихах этот процесс вычисления синуса, и я нашел переводы, сравнил несколько версий итд. Это выглядит примерно так (не дословно, но близко к тексту):
"Берем угол в градусах, вычитаем из полукруга (т.е. 180 градусов), и умножаем на самое себя. То, что получилось, пишем дважды. Первую копию вычитаем из 40500, потом берем одну четвертую того, что получилось, и делим на это вторую копию"
Но чего-то мне еще не хватало. В формуле косинуса с радианами, с которой я начал, нет больших чисел, но в формуле оригинала есть число 40500. Как именно они описывают его в этих стихах, так и говорят скажем на санскрите "сорок тысяч пятьсот?" Пытаясь найти перевод слово-в-слово (я не знаю санскрит вообще), я наткнулся на книгу (Kim Plofker, Mathematics in Ancient India), где сказано, что в оригинале это число указано как "небо-облако-стрела-небо-океан", но не объясняется почему. Это я уже совсем не мог оставить так, что за небо-облако?
Оказалось, что среди нескольких разных способов записывать числа, которыми пользовались в древнеиндийской математике, была система, в которой для каждой цифры можно было выбрать одно из примерно десятка слов, связанных с ней символически; например стрела это 5, потому что бог любви Кама-дева носит с собой колчан с пятью стрелами. Далее, цифры записывались в обратном порядке. Поэтому
небо-облако-стрела-небо-океан
0-0-5-0-4
Почему и небо и облако ноль тут? Наверное, чтобы не говорить "небо" два раза подряд. Это стихи!
Когда я разобрался в этом, меня поразило вдруг то, на что я собственно смотрю. Это седьмой век, всего пару сотен лет назад развалилась Римская империя. За полмира от ее развалин, в Индии, ученый по имени Бхаскара записывает - словами, в стихах - число 40,500, используя *позиционную* запись, разряд за разрядом, и цифру 0 (хоть называет ее словом). То есть те самые вещи, которых не хватало древним грекам и древним римлянам в их математике и астрономии. Еще через сотни лет эти открытия дойдут до исламского мира, а через него - до Европы, и в 12-м веке, как раз когда в Индии уже другой Бхаскара, второй, будет делать свои открытия, Фибоначчи в Европе познакомит ученых своего времени с "арабскими" цифрами. А еще через 500 лет после этого работы Ньютона приведут в конечном итоге к пониманию тригонометрии и математики вообще, позволяющем гораздо точнее вычислять синусы и находить приближенные формулы, превосходящие по точности гениальное озарение Бхаскары-первого.